Waffenrechtliche Erlaubnisse können den entsandten ausländischen Mitgliedern diplomatischer und berufskonsularischer Vertretungen (bei vereinbarter Gegenseitigkeit gebührenfrei) auf Antrag erteilt werden.
Zuständig ist das

Bundesverwaltungsamt
Referat S II 6,50728 Köln
E-Mail: waffenrecht@bva.bund.de

https://www.bva.bund.de/DE/Services/Buerger/Ausweis-Dokumente-Recht/Waffenrecht/Einzelerlaubnis/_documents/Antrag/Antrag_Erlaubnis.html

Der Antrag (bestehend aus Anlage WA1 und WA2) wird – einschließlich aller dort genannten Unterlagen – für Angehörige diplomatischer Vertretungen über das Auswärtige Amt (Referat 703) bzw. für Angehörige berufskonsularischer Vertretungen über die zuständige Staats- oder Senatskanzlei an das Bundesverwaltungsamt weitergeleitet. Der Antrag kann per Post oder elektronisch an das Bundesverwaltungsamt weitergeleitet werden. Das Bundesverwaltungsamt stellt die waffenrechtlichen Erlaubnisse aus und übersendet sie der jeweiligen Vertretung unmittelbar.

Den Vertretungen liegt hierzu die Rundnote 04/2019 vom 08. Februar 2019 (Waffenrechtliche Erlaubnisse) – einschließlich dazugehörigem Merkblatt des Bundesverwaltungsamts vor.